Evo rešenja za prvi zadatak iz prethodnog posta Zadaci za 1. razred – deljivost u skupu prirodnih brojeva. Ostavljam vam još vremena da pokušate da rešite ostatak prvog domaćeg. Možda vas ovo rešenje bude inspirisalo.

Zadatak 1.

Među prvih hiljadu brojeva koliko ima onih koji nisu deljivi ni sa 4, ni sa 6?

Rešenje.

Ideja je da se formiraju skupovi brojeva koji su pomenuti u zadatku. Neka svi prirodni brojevi manji od 1000 čine jedan osnovni skup S. Prirodni brojevi manji od 1000 koji su deljivi sa 4 čine skup A koji je podskup od S.

Broj elemenata u S je |S|=1000, a broj elemenata u A je |A|= 1000:4=250, jer je svaki četvrti broj deljiv sa 4.

Neka brojevi  manji od 1000 i deljivi sa 6 čine skup B. U B ima 166 elemenata. To je zato što je 166 najveći ceo deo rezltata deljenja 1000 sa 6, odnosno  [1000:6]=166. To može da se zapiše i ovako 1000=6·166+4, gde je 4 ostatak pri celobrojnom deljenju.

Među brojevima koji su deljivi sa 6 ima i brojeva koji su istovremeno deljivi i sa 4. Dakle, A∩B≠Ø. Među brojevima do 1000, ako krenemo redom, broj koji  je deljiv istovremeno i sa 4 i sa 6 je svaki dvanaesti , to je zato što je NZS(4, 6)=12. Ovi brojevi pripadaju skupu  A∩B  i ima ih 83, jer je najveći ceo deo od  [1000:12]=83. Ovo bi sada trebalo predstaviti dijagramom ovako.

Primetimo sada da brojeva koji su samo deljivi sa 4, a nisu deljivi sa 6 ima 250-83=167 (to bi bio skup A\B). Isto tako, elemenata skupa B\A ima 166-83=83, jer toliko je brojeva koju su manji od 1000 i deljivi samo sa 6, a ne i sa 4.

Sada je zadatak već skoro završen. Samo zamislite kako iz skupa S treba ukloniti po jednom svaki četvrti, šesti i dvanaesti broj, pa prebrojati preostale elemente. Lako je zaključiti da među brojevima od 1 do 1000, onih koji nisu deljivi ni sa 4 ni sa 6 ima

1000-(250-83)-(166-83)-83=

=1000-250-166+83=

=667 .

Advertisements