Vreme je da objavim i rešenje drugog zadatka iz posta sa zadacima iz deljivost u skupu prirodnih brojeva. Najpre, podsetimo se zadatka.

Zadatak 2.

Proizvod broja 21 i jednog četvorocifrenog broja je kub nekog prirodnog broja. Naći taj prirodan broj.

Rešenje.

Prvo ćemo razmisliti kako da postavimo zadatak dok pažljivo čitamo njegov tekst. U nastavku ću sa N označavati skup prirodnih brojeva.

Proizvod broja 21 i jednog četvorocifrenog broja je

Ovakav zapis je zgodan, jer se jasnije vidi da je u pitanju četvorocifreni broj čija je cifra hiljada a, cifra stotina b, cifra desetica i cifra jedinica d, odnosno, to su neki od brojeva iz skupa {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.

Proizvod nepoznatog četvorocifrenog broja i broja 21 je jednak kubu nekog prirodnog broja koji tražimo. Neka je taj nepoznati prirodan broj n. Sada možemo napisati postavku zadatka ovako:

Dalje, zadatak možemo razmatrati na više načina. Svako može da pokuša da rešenje nađe na svoj način, ali je zato neophodno da se svaki korak u razmatranju pažljivo prouči i da se zaključci koji nas dovode do rešenja donose argumentovano.

Šta znamo o zadatim brojevima?

I Način (manje lep)

Znamo da je n prirodan broj i znamo da je svaki prirodan četvorocifreni broj veći ili jednak sa 1000 i manji ili jednak sa 9999.

Na osnovu ovih ograničenja za nepoznati četvorocifreni broj, možemo utvrditi i neke grube granice u okviru kojih se nalazi i broj n3.

Ukoliko ste spretni u korišćenju digitrona ili računara, lako možete „pogađačkom“ metodom videti da se i samo n može obuhvatiti, odnosno približno odrediti  računajući koji su to kubovi prirodnih brojeva najbliži brojevima 21 000 i 209 979. Recimo, najmanji potpuni kub prirodnog broja koji se nalazi između 21 000 i 209 979 je 21 952 = 283, dok je najveći 205 379 = 593. Dakle, n je prirodan broj koji se nalazi između brojeva 28 i 59, uključujući i ova dva. Tu se za tačno rešenje možete koristiti sistemom eliminacije, odnosno ispitivanjem koji od kubova prirodnih brojeva između 28 i 59 je baš broj deljiv sa 21.

II Način (lepši)

Prisetimo se formulisanog problema.

Obeležimo nepoznat četvorocifren broj sa k, tj.

pa je problem sada

Kub broja n je očigledno deljiv sa 21, pa možemo zaključiti da je to neki broj koji je istovremeno deljiv sa 3 i sa 7, jer su ova dva broja jedini njegovi prosti činioci.

Lako možemo zaključiti i da se među prostim činiocima broja n3 (jer je on potpuni kub) moraju naći tri puta broj 3 i tri puta broj 7. Ostali prosti činioci talođe moraju činiti potpuni kub, pa to sad zapisujemo ovako:

ili

Ovde je m neki nepoznati prirodan broj koji treba naći.

Iz formulacije problema i poslednje jednakosti, možemo zaključiti sledeće

Odnosno, posle deljenja čitave jednakosti sa 21

Pošto je k četvorocifren broj koji je proizvod broja 441 i nekog kuba prirodnog broja, taj kub mora biti najmanje 2, a najviše 22. U protivnom bismo dobili da je = 1·441 što je trocifren broj, ili da je k = 441·23 = 10 143 što je petocifren broj. Jedini potpuni kub izmeđi 2 i 22 je broj 8, pa je traženo m= 8, odnosno = 2.

Pošto se u zadatku traži broj n, traženo rešenje dobijamo ovako

Advertisements