pizza cutKakve veze imaju Karl Fridrih Gaus i sečenje pice? Na takvo pitanje zanimljiv odgovor može da vam ispriča samo neki matematičar. Pročitajte ostatak ovog blogposta, pa ćete i sami moći da dođete do ovakvog odgovora, pa čak i pokušate da smislite neko svoje, bolje i lepše objašnjenje.

Za početak, evo anegdote.

Anegdota o mladom Gausu

Karl Fridrih Gaus (1777 – 1855) je još u ranoj mladosti ispoljavao osobine pravog genija. Pričalo se da je još kao trogodišnje dete računajući napamet, ispravljao greške u finansijskim proračunima svoga oca. Jedna od najpoznatijih anegdota o mladom Gausu govori o tome kako je uspeo na originalan način, koristeći svoju sposobnost stvaralačkog mišljenja, da brzo i elegantno reši problem koji je njegov nastavnik neočekivano izneo, a za koji Gaus nije bio pripremljen. Gaus je zbog svog nestašluka u toku osnovne škole, jednom prilikom na času matematike, razljutivši svoga nastavnika, J. G. Butnera (J.G. Büttner), dobio sledeći zadatak: Sumiraj (aritmetički) niz celih brojeva od 1 do 100. Mladi Gaus je tačan odgovor izgovorio posle nekoliko sekundi što je zapanjilo učitelja i njegovog asistenta Martina Bartelsa (takođe poznatog matematičara).

Kako je Gaus tako brzo došao do tačnog odgovora? On je shvatio da ako posmatra zbir parova celih brojeva sa različitih krajeva datog niza, dobiće jednake vrednosti: 1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101, 3 + 98 = 101, itd. Ovakvih parova ima 100/2=50, pa je konačna suma 50·101=5050.

sumiranje reda

Problem sečenja pice

Ako želimo da presečemo picu, to uglavnom radimo pravolinijski. Pica se lako može predstaviti jednim goemetrijskim oblikom – običnim krugom, a sečenje pice možemo prikazati crtežom kao podelu tog oblika pravim linijama.

Problem postaje zaniljiv kada ubacimo sledeći zahtev:  Želimo da presečemo picu tako da dobijemo što više parčića. 

Šta znači što više parčića? To znači da želimo da sečemo picu tako da veličina parčića nije važna, ali je važno da dobijemo maksimalan broj parčića pice za dati broj sečenja. Dakle, maksimalan broj dobijenih delova kruga za unapred zadat broj pravih kojima taj krug sečemo. Na primer, za tri sečenja, možemo dobiti 6 ili 7 parčića pice, u zavisnosti od toga kako je sečemo.

secenje sa 3 linije

Ako smo se dobro razumeli, dalje problem razmatramo tako da je sečenje pice izvršeno tako da se uvek dobije maksimalan broj parčića.

Ključno pitanje: Koji je maksimalan broj parčića koji možemo dobiti ako picu sečemo sa 0, 1, 2, 3, 4, 5, itd. poteza?

Pokušajmo da prebrojimo.

secenje pice

Nije lako nacrtati „sečenje pice” sa više od četiri presečne linije. Pokušajmo zato da nađemo neki drugi način da utvrdimo maksimalan broj pračića pice kada je ona sečena više puta bez crteža. Možemo koristiti ono što smo utvrdili sa prethodnih slika.

Pogledajte ovaj problem i na youtube-u, u interpretaciji Škota Kjartana Poskitt-a, za nešto mlađe učenike, možda će vam biti jasniji problem o kojem pričam.

Možemo sistematično predstaviti te podatke popunjavajući tabelu u koju unosimo broj poteza sečivom (broj pravih linija kojom delimo krug, od 0 do 5 recimo) i maksimalan broj dobijenih parčića.

tabela1

Da li primećujete neku zakonitost? Kako se menja maksimalan broj dobijenih parčića?

Odgovor: Razlika u broju parčića je svaki put za jedan veća, odnosno, u svakom narednom sečenju dobijamo po jedno parče više nego što je bilo uvećanje koje smo dobili prethodnim sečenjem, počevši od 1.

Dakle, bez sečenja imamo jedno parče, odnosno celu picu. Posle jednog sečenja, imamo 2 parčeta, tj. na jedno početno parče dodaje se još jedno. Nakon dva sečenja, imamo 4 parčeta, tj. dodali smo 2 na prethodna 2, itd.

2-1=1, 4-2=2, 7-4=3, 11-7=4, 16-11=5,…

Kada se ova zakonitost uoči, možemo formirati i popuniti treću kolonu tabele.

tabela2

Da li možete da izračunate koliko če biti maksimalan broj dobijenih parčića pice ako je presečemo 6 puta?

Odgovor: Sada će broj parčića biti veći za 6 u odnosu na maksimalan broj parčića posle 5 sečenja pice. Odnosno, maksimalan broj parčića je 16+6=22.

Šta ako bismo želeli da odredimo koliki je maksimalan broj parčića pice koju smo presekli 100 puta? Da li bismo morali da računamo redom ili postoji neki kraći put? Postoji!

Koristićemo uočeno pravilo da se razlika u broju parčića posle svakog sečenja povećava za 1 u odnosu na prethodno sečenje. Počinjemo sa jednim parčetom pice, jednim sečenjem dobijamo od jednog 2 parčeta, sa 2 sečenja dobijamo za 2 više, sa 3 sečenja dobijamo za 3 više, itd. Posle 100 sečenja dobićemo 100 parčića više nego što smo dobili posle 99 sečenja. Dakle, maksimalan broj dobijenih parčića posle 100 sečenja je 1+1+2+3+4+…+99+100.

Sada se prisetimo angdote o Gausu. On je izračunao da je

 1+2+3+4+…+99+100= 50·101=5050

Pažnja! Kada je broj sečenja 0, tada ćemo imati samo jedno parče (celu picu), a već sa jednim presekom, dobijamo 2 parčeta pice. Iz ovog razloga, formulu treba korigovati, tj. dodati joj 1 nakon uopštavanja Gausovog pravila.

Mi smo tražili broj koji je samo za 1 veći od ovog. Dakle, maksimalan broj pračića pice posle 100 sečenja bi bio 5050+1=5051.

Da li možete da izračunate koliki će biti maksimalan broj dobijenih parčića pice ako je presečemo n puta?

Taj broj bi bio 1+1+2+3+4+…+n-1+n.

Kako ovaj broj zapisati kraće?

Koristeći Gausov rezon, možemo pronaći formulu za zbir prvih n brojeva, pa samo na taj zbir dodati 1.

Saberimo parove brojeva sa suprotnih krajeva niza 1, 2, 3, 4, …, n-1, n kao što je to Gaus učinio:

1+n=n+1

2+n-1=n+1

3+n-2=n+1

Svi ovi zbirovi su međusobno jednaki, a ima ih ukupno n/2 .  (Razmislite: kako se problem rešava kada je neparan broj?)

Možemo zato da zaključimo da je zbir prvih n celih brojeva jednak

Maksimalan broj parčića pice posle n sečenja je samo za 1 veći, pa zato on iznosi

I to je to! A sada, domaći 🙂

Domaći zadatak:

1) Pronaći maksimalan broj parčića pice koji se može dobiti nakon 13 sečenja.

2) Izračunaj zbir prvih 113 prirodnih brojeva.

3*) Pokušajte da rešite obrnut problem: Koliko je sečenja potrebno ako bismo želeli da dobijemo, recimo 79 parčića pice? Možemo li odgovor na ovo pitanje da uopštimo, tj. da pronađemo formulu za broj sečenja ako želimo da dobijemo x parčića pice? Pod kojim uslovima?

Advertisements