vukajlija logo

Prijatelj mi je pre nekog vremena prosledio jedan link ka posteru sa vukajlija.com. Pošto je na posteru bio jedan matematički zadatak, odmah sam se bacila na rešavanje i na čitanje komentara, kojih je, na moju veliku radost, bilo preko 1000. Toliko ljudi je želelo da odgonetne tačno rešenje ovog zadatka, da bi se moglo reći da je autor postera dao jedan jako dobar domaći zadatak iz matematike za sve.

U ljudima je proradila sujeta, želja za  dokazivanjem i istraživački duh, i to samo zato što se na posteru tvrdi da postavljenu jednačinu ume da reši svega 15% ljudi, pa su masvno počeli da rešavaju i diskutuju o mogućim rešenjima.

Evo i postera.

85-ljudi

Bilo je i tačnih i netačnih odgovora, ali moje odušeljenje je vezano upravo za toliko interesovanje i ogromnu maštovitost u diskusiji. Interesantno je to i da je bilo zaista mnogo tačnih odgovora, ali da su se njihovi autori vrlo žustro raspravljali oko pojedinosti u koje zalaze samo veoma iskusni matematičari.

Sasvim je normalno i to što se pojavilo i mnogo netačnih odgovora, jer je u pitanju rešavanje jednačine četvrtog stepena (takozvane bikvadratne jednačine) koje se uči uglavnom u drugom razredu srednje škole, a srednjoškolsko gradivo se u velikoj meri brzo zaboravlja, naročito kada je u pitanju neka za većinu ljudi neomiljena nauka kao što je matematika.

Mnogi su pokušali i da pogode tačno rešenje bez rešavanja, čime su, naravno, u samom startu bili osuđeni na grešku, a kasnije i vrlo ružno ismejani.

Pošto među mojim učenicima ima dosta njih koji veoma često posećuju Vukajliju, odlučila sam da napišem ovaj post za njih, kako bi ubuduće mogli da se pohvale da spadaju upravo u onih 15%.

Ukoliko niste čitali komentare ili niste uspeli da među njima razanate tačne odgovore, evo rešenja.

I način (kako se to uglavnom savetuje na nastavi):

Problem se ovako sveo na traženje nula polinoma četvrtog stepena. Pošto u zadatku, tj. na posteru, nije precizirano u kom skupu tražimo rešenje, pretpostavićemo da uzimamo u obzir ceo skup kompleksnih brojeva (koji se takođe u većini srednjih škola obrađuje do drugog razreda).

Odmah ćemo moći da zaključimo da postoji najviše četiri rešenja, jer tako kaže osnovni stav algebre:

Svaki polinom n-tog stepena u skupu kompleksnih brojeva ima tačno n nula, pri čemu se višestruke nule broje onoliko puta kolika je njihova višestrukost.

Da bismo pronašli nule datog polinoma, uvodimo smenu:

kojom se ova bikvadratna jednačina svodi na kvadratnu:

Kvadratnu jednačinu rešavamo dobro poznatom formulom:

gde je a = 1, b = 1 i  c = -1.

Dakle, dobijamo sledeća dva rešenja po t:

Ostaje još jedino da vratmo smenu, odnosno da iz nađenog t izračunamo traženo x:

Ove dve jednakosti su zapravo jednačine drugog stepena, pa ćemo imati u oba slučaja po dva rešenja ako sve posmatramo na skupu kompleksnih brojeva. Pošto je u prvom slučaju x2 pozitian broj, rešenja za x će biti realni, tačnije iracionalni brojevi

U drugom slučaju gde je xnegativno, pa će rešenja za x  biti par konjugovano kompleksnih brojeva. Dakle,

II način (koji iziskuje više kreativnosti)

Ideja je (kako je to primetio jedan od autora komentara na Vukajlijinom posteru) da se leva strana jednačine četvrtog stepena dopuni do kvadrata binoma. Naravno, tada se mora voditi računa da se na isti način menja i desna strana jednakosti. Evo ovako:

Sada, korenujući obe strane jednakosti, dobijamo

gde smo ponovo u istoj situaciji kao i u prethodnom načinu rešavanja kada smo dobili rešenja za t. Dobijamo dalje četiri rešenja – ista ona dva realna i još dva koja su par istih onih konjugovano kompleksnih brojeva.

Među komentarima je bilo i predloga da rešenje bude x = 1. U tom slučaju bi početna jednačina bila

što, naravno nije tačno.

Postavljani su i vrlo interesantni pokušaji da se dokaže da je prethodna jednakost tačna. Evo kako:

U ovom nekorektnom dokazu, izvršeno je deljenje nulom, odnosno cela jednakost je podeljena sa a – b, gde su a =1i b = 1, što nema smisla i samim tim nije dozvoljeno.

Postoji još jedan pokušaj dokaza da je 2 = 1.

U ovom “dokazu” je polazna tačka a + b = b (gde se takođe uzima da je a =1i b = 1), pa je sam početak pogrešan, jer se polazi od onoga što treba dokazati. Osim toga, odmah je cela jednakost pomnožena sa ab, odnosno sa 0, a to je takođe pogrešno. Množenjem bilo koje jednakosti sa 0 dobija se izraz 0 = 0, a time u stvari ništa nismo pokazali.

Postoji još jedna interesantna opaska među komentarima koja mi je privukla pažnju. Evo dela komentara koji je sadrži.

Ovde takođe postoji dosta grešaka u razmatranju.

Ne može postojati beskonačno mnogo rešenja date jednačine kako je ovde navedeno, jer su svi ovi dati brojevi koji se predlažu za rešenja (x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 ,…) racionalni brojevi sa konačno mnogo decimala iza zareza. Njihovim uvrštavanjem u jednačinu se dobija samo približno 1. Rešenje koje tražimo je iracionalan broj sa beskonačno mnogo cifara iz decimalnog zareza, a ovo ostalo su samo aproksimacije. Uvrštavanjem aproksimacija u početnu jednačinu, uvek ćemo dobiti broj koji ima konačno mnogo devetki iza zareza (čak i iza tog konačnog broja devetki su neke druge cifre kojih takođe ima konačno mnogo).

Broj 0,99999… sa beskonačno mnogo devetki iza zareza se postupkom navedenim u komentaru iznad zaista pretvara u 1, ali je taj postupak moguće primeniti samo kada su u pitanju periodična ponavljanja cifara iza decimalnog zareza do u beskonačno.

Bilo je na posletku i komentara u kojima su se spominjale Kelijeve tablice i algebarske strukture poput prstena i polja. Ovo je jedean vrlo interesantan način da se posmatra zadata jednačina. Međutim, ako je tako, procenat onih koji ne bi umeli da reše ovu jednačinu bi bio mnogo, mnogo veći od 85%, jer ovakvo razmatranje zahteva pohađanje kurseva više matematike koji se rade uglavnom na matematičkom, elektrotehničkom fakultetu ili eventualno u matematičkim gimnazijama. Iz tog razloga, možemo zaključiti da autor postera nije mislio na ovakvo tumačenje.

A sada, jedan domaći zadatak od mene. 🙂

Pokušajte sami da pronađete grešku u sledećem komentaru sa ovog Vukajlijinog postera.

Advertisements